Variance of the Sum of N Variables
Var(
å
i
X
i
) =
å
i
Var(X
i
) + 2
å
j<i
Cov(X
i
X
j
)
Proof
:
Var(
å
i
X
i
) = E[
å
i
X
i
– E(
å
j
X
i
) ]
2
[
å
i
X
i
– E(
å
j
X
i
) ]
2
= [
å
i
(X
i
–
m
i
) ]
2
=
å
i
(X
i
–
m
i
)
2
+ 2
å
j<i
(X
i
–
m
i
) (X
j
–
m
j
).
Now take expectations and we have the result.